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Aufgabe 1A

Die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=5⋅(e−0,3x−e−4x)f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right) modelliert für 0≤x≤120 \leq x \leq 12 die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt xx die Zeit in Stunden (h)(h) nach der Einnahme des Medikamentes und f(x)f(x) die Konzentration in Milligramm pro Liter (mgl)\left(\frac{m g}{l}\right).

  1. Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 mgl\frac{m g}{l} annimmt.

    Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens 0,5mgl0{,}5 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} beträgt. (6 BE)

  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr 0,7 Stunden nach der

    Einnahme des Medikamentes mit etwa 3,75 mgl\frac{m g}{l} am größten ist. (4 BE)

  3. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genau so groß ist wie zwei Stunden später. (3 BE)

  4. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung f′(x)=f(x+1)−f(x−1)2f^{\prime}(x)=\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2} und interpretieren Sie die Lösung im Sachzusammenhang. (4 BE)

  5. Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis 6 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch ff beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch ff beschriebenen Konzentration nach 6 Stunden.

    Berechnen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null ist. (4 BE)

  6. Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch ff beschriebenen Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll 6mgl6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} nicht übersteigen.

    Untersuchen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. (4 BE)

  7. Bild

    Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar faf_{a} mit fa(x)=e−a⋅x−e−4x,x∈R,a>0,a≠4f_{a}(x)=e^{-a \cdot x}-e^{-4 x}, x \in \mathbb{R}, a>0, a \neq 4, gegeben. In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt. Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt. Eine Stammfunktion von faf_{a} ist durch Fa(x)=−1a⋅e−a⋅x+14e−4xF_{a}(x)=-\frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot x}+\frac{1}{4} e^{-4 x} gegeben.

    Berechnen Sie die Werte von aa, für die die Fläche zwischen dem Graph von faf_{a} und der xx-Achse im Intervall [0;1][0 ; 1] den Inhalt 0,2 hat. (4 BE)

  8. Entscheiden Sie, für welche Werte von aa an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.

    Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle. (6 BE)

  9. Der Graph von faf_{a} wird an der xx-Achse gespiegelt.

    Berechnen Sie die Werte von aa, für die sich der gespiegelte Graph und der Graph von faf_{a} unter einem rechten Winkel schneiden. (5 BE)