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Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion ist eine Abbildung der Form showimage.php?formula=be1a4810479a618f7c. Sie werden oft gebraucht zur Modellierung von Wachstum und Zerfall.

Definition

Eine Exponentialfunktion showimage.php?formula=d3c830929a1768395c ist definiert als

showimage.php?formula=d417a89b761ab6869f.

Dabei ist showimage.php?formula=3bb250d9a152ee154d eine Reelle Zahl mit showimage.php?formula=e15c888c67edafdf99.

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion zurückführen. Es gilt nämlich 

showimage.php?formula=d1181a7d41567e0b18.

 

Bezeichnungen

  • showimage.php?formula=3bb250d9a152ee154d ist die Basis
  • showimage.php?formula=998a0ebcad2e016f6a ist der Exponent
  • showimage.php?formula=5048c82dc9f2dd90a9 heißt Wachstumsfunktion, falls showimage.php?formula=3bb250d9a152ee154d größer ist als 1. Liegt showimage.php?formula=3bb250d9a152ee154d zwischen 0 und 1, wird showimage.php?formula=5048c82dc9f2dd90a9 als Zerfallsfunktion genannt.

 

 

Eigenschaften

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Definierende Eigenschaft / Potenzgesetze Artikel zum Thema

Sei showimage.php?formula=d3c830929a1768395c eine Exponentialfunktion, dann gilt 

showimage.php?formula=7dea8b80b103151d7b 

Diese Eigenschaft ist sogar definierend. Das heißt wenn man versucht, eine Funktion mit der obigen Eigenschaft zu konstruieren, würde man genau die Definition von Exponentialfunktionen bekommen.

Ausgehend von der Definition sieht man leicht, dass diese Eigenschaft wegen den  Potenzgesetzen gilt. Analog gilt auch  showimage.php?formula=bccc75c64bd969c449.  

 

 

Wertebereich Artikel zum Thema

Exponentialfunktionen nehmen nur positive Werte an, d.h.  

 showimage.php?formula=a8959620169c869f50 

für alle showimage.php?formula=998a0ebcad2e016f6a und alle showimage.php?formula=e15c888c67edafdf99.

 

 

Nullstellen Artikel zum Thema

Exponentialfunktionen besitzen keine Nullstellen. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass sie einen positiven Wertebreich haben.

 

 

Asymptotisches Verhalten Artikel zum Thema

Der Graph einer Exponentialfunktion nähert sich der x-Achse immer mehr an und hat diese somit als waagerechte Asymptote.

 

 

Monotonieverhalten Artikel zum Thema

Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion wird durch die Basis bestimmt. 

  • Für showimage.php?formula=a2f54e5e9c1001c96b, dann ist die Funktion streng monoton fallend,
  • für  showimage.php?formula=6b34a9287e7d470b93 ist die Funktion konstant
  • für showimage.php?formula=ef34da5f48665d4c88 ist sie streng monoton wachsend.

Insgesamt sind also alle Exponentialfunktionen stets monoton.

 

 

Umkehrfunktion Artikel zum Thema

Die Umkehrfunktion von einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für showimage.php?formula=be1a4810479a618f7c ist die Umkehrfunktion

showimage.php?formula=fb4a833ac3693a735c.

 

 

Ableitungen Artikel zum Thema

Erste Ableitung

Man kann die erste Ableitung einer Exponentialfunktion mit Hilfe von Kettenregel berechnen. Dazu benötigt man einige Umformungen.

showimage.php?formula=f668e05533fa09b078 showimage.php?formula=a94204d7cfcf3dc6d6  Da der natürliche Logarithmus showimage.php?formula=c9673acd2a634fe482 die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt showimage.php?formula=0bf5e6697eb7fbf5e0.
showimage.php?formula=10952f7a16caf0351a Potenzregel
showimage.php?formula=a1f8e3a348abb3af82 Kettenregel, dabei ist  showimage.php?formula=5ab2360d23091365f9
showimage.php?formula=d417a3c3c4920a4083 Potenzregel
showimage.php?formula=39abc791189e930f18

Zweite Ableitung

Da die erste Ableitung nichts anderes ist als die Funktion selbst multipliziert mit einem konstanten Faktor, kann man die zweite Ableitung

relativ leicht berechnen.

showimage.php?formula=fad8bb438ab5e985d8 showimage.php?formula=9eadc775bb37aba978
showimage.php?formula=b26ce4d63737f62796
showimage.php?formula=bc701b7d86f800eae6
showimage.php?formula=2d295e94ad6a54c170
showimage.php?formula=204a92478c77ff348c

Integral Artikel zum Thema

Die Stammfunktion showimage.php?formula=5215cfe2e9cce53bc3 einer Exponentialfunktion showimage.php?formula=be1a4810479a618f7c ist

showimage.php?formula=f40acb3b733ea1631a.

Das sieht man durch eine einfache Gleichung:

showimage.php?formula=d6eb40d0ccb285fe22
showimage.php?formula=145ae06d32b238240c
showimage.php?formula=fa9309dadf36146c15
showimage.php?formula=cd9d9e4537680ca87b
showimage.php?formula=eab4bc8a132f7784eb

  

 

Natürliche Exponentialfunktion

Ein wichtiger Spezialfall ist die natürliche Exponentialfunktion, oder auch  e-Funktion.

 

 

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