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Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Um den Abstand d(P;E) eines Punktes «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»p«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«msub»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«msub»«mi»p«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» von einer Ebene E berechnen zu können, muss die Ebene ggf. in Hesse-Normalform «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»HNF«/mi»«mo»(«/mo»«mi»E«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mover accent=¨true¨»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfrac»«mover accent=¨true¨»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» umgeformt werden und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden. Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»;«/mo»«mi»E«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mover accent=¨true¨»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfrac»«mover accent=¨true¨»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»§#8728;«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»p«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»p«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes P(2|2|3) von der Ebene E mit der Gleichung «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»E«/mi»«mo»:«/mo»«mover accent=¨true¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»l«/mi»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math».

 

1. Die Ebene E liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hesse-Normalform umgeformt werden. «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»HNF«/mi»«mo»(«/mo»«mi»E«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#8728;«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
2. Einsetzen der Koordinaten von «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»p«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»und«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»p«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math» für «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»und«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math» ergibt den gesuchten Abstand von P zu E. «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»;«/mo»«mi»E«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#8728;«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

 

Der Abstand von P zu E besträgt also genau 3 Längeneinheiten.

 

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für d(P;E) lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt P liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

 

  • d(P;E)
  • d(P;E)>0: P liegt auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung 

 

Zur Erinnerung:

Eine Bedingung bei der Definition der Hesse-Normalform ist, dass «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»;«/mo»«mi»E«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» gilt.